Question

11．已知△ABC，D、E是射線BC上的兩點(diǎn)，且BD=AB，CE=AC．
（1）若AB=AC，且∠BAC=90°（如圖），求證：AE²=BE•DE；
（2）若△ABC是直角三角形，且AE²=BE•DE，求∠ABC的度數(shù)．（如果需要，自己畫出符合條件的大致圖形）

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)等邊對(duì)等角依次求出∠B、∠E、∠DAC、∠CAE、∠DAE的度數(shù)，證明∠EAD=∠B，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明△EAD∽△EBA，得比例式可得結(jié)論；
（2）分三種情況討論：
①當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，如圖1，證明△ADE∽△BAE，得∠DAE=∠B，設(shè)∠E=x°，根據(jù)等量關(guān)系：∠ADB=∠DAE+∠E，列方程為45+x=90-2x+x，求出x的值，從而計(jì)算出∠ABC的度數(shù)；
②當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，如圖2，因?yàn)椤螮AD≠∠B，所以此種情況不成立；
③當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，如圖3，同①，根據(jù)∠BAD=∠ADB得：90-x+45-x=90-$\frac{1}{2}$x，得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠BCA=45°，
∠BAD=∠BDA=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠DAC=90°-67.5°=22.5°，
∵AC=CE，
∴∠E=∠CAE=22.5°，
∴∠EAD=45°，
∴∠EAD=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAD∽△EBA，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{ED}{AE}$，
∴AE²=BE•DE；
（2）若△ABC是直角三角形，分三種情況討論：
①當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，如圖1，
∵AE²=BE•DE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{AE}$，
∵∠E=∠E，
∴△ADE∽△BAE，
∴∠DAE=∠B，
設(shè)∠E=x°，
∵AC=CE，
∴∠CAE=∠E=x°，
∴∠ACB=2x°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B=90°-2x°，
∵AB=AD，
∴∠BDA=∠BAD=$\frac{180-（90-2x）}{2}$=45+x，
在△ADE中，∠DAE=∠B=90-2x，
∠ADB=∠DAE+∠E，
45+x=90-2x+x，
x=22.5°，
∴∠ABC=90-2x=45°；
②當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，如圖2，
∵AE²=BE•DE，∠E=∠E，
∴△ADE∽△BAE，
但圖2中，∠EAD≠∠B，
所以此種情況不成立；
③當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，如圖3，
∵AC=CE，
∴∠CAE=∠E=45°，
∵AE²=BE•DE，∠E=∠E，
∴△ADE∽△BAE，
∴∠DAE=∠B，
設(shè)∠B=x°，則∠DAE=x°，∠BAC=90°-x°，
∴∠DAC=45°-x°，
∵AB=BD，
∴∠ADB=$\frac{180°-x°}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$x°，
由∠BAD=∠ADB得：90-x+45-x=90-$\frac{1}{2}$x，
x=30°，
∴∠ABC=30°，
綜上所述：∠ABC=45°或30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定，本題多次運(yùn)用了等邊對(duì)等角及三角形的外角定理得出角的大小關(guān)系，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證得三角形相似，從而得出比例式；在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件；對(duì)于第二問(wèn)中的如果△ABC是直角三角形時(shí)，要采用分類討論的思想解決問(wèn)題，正確畫圖，設(shè)未知數(shù)，找到恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系列方程求得結(jié)論．