Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABE和△ACD都是等邊三角形，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，DF交AC于M，試說明線段AM與MC相等的理由．

Answer 1

分析 連接AF、FC，由等邊三角形的性質(zhì)可得AF是∠BAE的平分線，然后求出∠BAF=∠BAC=30°，再利用“角角邊”證明△ABF和△ABC全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=AC，然后求出△AFC是等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)求出AF=FC=CD=AD=AC，然后求出四邊形AFCD是菱形，由菱形的對角線互相平分可得AM=MC．

解答 證明：連AF，F(xiàn)C，如圖所示：
∵△ABE是等邊三角形，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，
∴AF是∠BAE的平分線，
∴∠BAF=∠BAE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAF=∠BAC=30°，
在△ABF和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BAC}&{\;}\\{∠AFB=∠ACB=90°}&{\;}\\{AB=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ABC（AAS），
∴AF=AC，
∵∠FAC=∠BAF+∠BAC=30°+30°=60°，
∴△AFC是等邊三角形，
又∵△ACD是等邊三角形，
∴AF=FC=CD=AD=AC，
∴四邊形AFCD是菱形，
∴AM=MC．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；作輔助線構(gòu)造出全等三角形和菱形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．