Question

8．某公司在成立之初投入了12500元準(zhǔn)備銷(xiāo)售某種商品，又以每件40元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)了一批這種商品，按規(guī)定：該商品每件售價(jià)不得低于80元且不得高于150元；
（1）若第1個(gè)月最多能銷(xiāo)售250件該商品，為了在第1個(gè)月內(nèi)收回投入的資金，每件商品的利潤(rùn)率至少為多少？
（2）在第1個(gè)月剛好收回投入的資金的基礎(chǔ)上，公司決定在第2個(gè)月再追加2000元擴(kuò)大銷(xiāo)售，由于市場(chǎng)原因，該商品的銷(xiāo)量出現(xiàn)下滑，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，第二個(gè)月該商品的銷(xiāo)量y（件）與售價(jià)x（元）之間滿足關(guān)系式：y=-2x+240，為了完成收回投資并盈利1000元的任務(wù)，2月份該商品的售價(jià)應(yīng)當(dāng)定為多少元；
（3）從第3個(gè)月開(kāi)始，銷(xiāo)量與售價(jià)的關(guān)系趨于穩(wěn)定且滿足：y=-x+196，公司決定每銷(xiāo)售1件該商品就捐贈(zèng)a元利潤(rùn)（a≥1）給貧困山區(qū)的希望小學(xué)，并且當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格大于120元時(shí)，扣除捐贈(zèng)后的利潤(rùn)隨x的增大而減小．直接寫(xiě)出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)每件商品的利潤(rùn)率至少為a，根據(jù)題意得方程即可得到結(jié)論；
（2）2月份該商品的售價(jià)應(yīng)當(dāng)定為x元，根據(jù)題意得銷(xiāo)量乘以每件的利潤(rùn)等于總利潤(rùn)列方程求解即可；
（3）設(shè)第3個(gè)月的銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，根據(jù)題意得銷(xiāo)量乘以每件的利潤(rùn)等于總利潤(rùn)列方程，求得函數(shù)關(guān)系式W=（-x+196）（x-40-a）=-x²+（236+a）x-7840-196a，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)每件商品的利潤(rùn)率至少為a，
根據(jù)題意得：40（1+a）×250=12500，
解得a=0.25，
故每件商品的利潤(rùn)率至少為25%．

（2）2月份該商品的售價(jià)應(yīng)當(dāng)定為x元，
根據(jù)題意得：（-2x+240）（x-40）=2000+1000，
解得：x=90，或x=70，
∵售價(jià)不得低于80元且不得高于150元，
∴2月份該商品的售價(jià)應(yīng)當(dāng)定為90元；

（3）設(shè)第3個(gè)月的銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，
則W=（-x+196）（x-40-a）=-x²+（236+a）x-7840-196a，
∵對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{236+a}{2}$，
∵當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格大于120元時(shí)，扣除捐贈(zèng)后的利潤(rùn)隨x的增大而減小，
∴80＜$\frac{236+a}{2}$＜120，
∵a≥1，
∴a的取值范圍：1≤a＜4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對(duì)所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性，最值問(wèn)題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．