Question

14．如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，
下列結(jié)論：
①BE+DF=EF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④S_{正方形ABCD}=2+$\sqrt{3}$，
其中正確的序號是②③④．

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠B=∠D=90°，由等邊三角形的性質(zhì)得AE=AF，則可判斷Rt△ABE≌△ADF，得到BE=DF，∠BAE=∠DAF，加上∠EAF=60°，易得∠BAE=∠DAF=15°，利用互余得∠AEB=75°，則可對③進行判斷；由于CB=CD，BE=DF，則CE=CF，于是可對②進行判斷；先判斷△CEF為等腰直角三角形得到CE=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2}$，設(shè)正方形的邊長為x，則AB=x，BE=x-$\sqrt{2}$，在Rt△ABE中利用勾股定理得x²+（x-$\sqrt{2}$）²=2²，解得x₁=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（舍去），則可計算出BE+DF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，于是可判斷①錯誤；然后利用正方形面積公式可對④進行判斷．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，∠BAE=∠DAF，
而∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠DAF=15°，
∴∠AEB=75°，所以③正確，
∵CB=CD，
∴CB-BE=CD-DF，
即CE=CF，所以②正確；
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴CE=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2}$，
設(shè)正方形的邊長為x，則AB=x，BE=x-$\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，∵AB²+BE²=AE²，
∴x²+（x-$\sqrt{2}$）²=2²，
整理得x²-$\sqrt{2}$x-1=0，解得x₁=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（舍去），
∴BE+DF=2（x-$\sqrt{2}$）=2（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$≠2，所以①錯誤；
∴S_{正方形ABCD}=x²=（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$）²=2+$\sqrt{3}$，所以④正確．
故答案為②③④．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．