Question

5．如圖，AB為⊙O的直徑，OC為⊙O的半徑，AD⊥DC于D，AC平分∠DAB，AD交⊙O于點E．
（1）求證：AC²=AD•AB；
（2）若∠DAB=60°，CD=4$\sqrt{3}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，AD⊥DC，得到∠ADC=∠ACB=90°，由于AC平分∠DAB，證得∠DAC=∠OAC，于是得到△ADC∽△ACB，則結(jié)論即可得出；
（2）連接BE，由∠DAB=60°，AC平分∠DAB，得到∠DAC=30°求出AC=2CD=8$\sqrt{3}$，AD=12，由（1）證得：AC²=AD•AB，于是求出AB=16，解直角三角形即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AB；

（2）解：連接BE，
∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=30°，∵CD=4$\sqrt{3}$，
∴AC=2CD=8$\sqrt{3}$，AD=12，
由（1）證得：AC²=AD•AB，
∴AB=16，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=8．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．