Question

15．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以DC為底向正方形外作等腰△DEC，連接AE，以AE為腰作等腰△AEF，使得EA=EF，且∠DEC=∠AEF．
（1）求證：△EDC∽△EAF；
（2）求DE•BF的值；
（3）連接CF、AC，當(dāng)CF⊥AC時(shí)，求∠DEC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得出DE=CE，AE=FE，∠EDC=∠ECD=∠EAF=∠EFA，即可得出△EDC∽△EAF；
（2）由正方形的性質(zhì)得出BC=DC=2，∠BCD=∠ADC=90°，∠ACB=∠ACD=45°，證出∠AED=∠FEC，由SAS證明△ADE≌△FCE，得出AD=FC，∠ADE=∠FCE=90°+∠EDC，證出BC=FC，∠BCF=∠DEC，得出△BCF∽△DEC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出答案；
（3）求出∠BCF=45°，由（2）得出∠DEC=∠BCF=45°即可．

解答 （1）證明：∵△DEC、△AEF是等腰三角形，且∠DEC=∠AEF，
∴DE=CE，AE=FE，∠EDC=∠ECD=∠EAF=∠EFA，
∴△EDC∽△EAF；
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC=2，∠BCD=∠ADC=90°，∠ACB=∠ACD=45°，
∵∠DEC=∠AEF，
∴∠AED=∠FEC，
在△ADE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}&{\;}\\{∠AED=∠FEC}&{\;}\\{AE=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（SAS），
∴AD=FC，∠ADE=∠FCE=90°+∠EDC，
∴BC=FC，∠BCF=360°-∠BCE-∠FCE=360°-2（90°+∠ECD）=180°-2∠ECD=∠DEC，
又∵BC：DE=FC：CE，
∴△BCF∽△DEC，
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{BF}{DC}$，
∴DE•BF=BC•DC=2×2=4；
（3）解：∵CF⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠BCF=45°，
由（2）得：∠DEC=∠BCF=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．