Question

11．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠BAD=90°，AC為直徑，過點A作圓O的切線交CB的延長線于點E，過AC的三等分點F（靠近點C）作CE的平行線交AB于點G，連結CG．
（1）求證：AB=CD；
（2）求證：CD²=BE•BC；
（3）當CG=$\sqrt{3}$，BE=$\frac{9}{2}$時，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形ABCD是矩形，可得結論；
（2）證明△ABE∽△CBA，列比例式可得結論；
（3）根據(jù)F是AC的三等分點得：AG=2BG，設BG=x，則AG=2x，代入（2）的結論解出x的值，可得CD的長．

解答 證明：（1）∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD；
（2）∵AE為⊙O的切線，
∴AE⊥AC，
∴∠EAB+∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠EAB=∠ACB，
∵∠ABC=90°，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{AB}$，
∴AB²=BE•BC，
由（1）知：AB=CD，
∴CD²=BE•BC；
（3）∵F是AC的三等分點，
∴AF=2FC，
∵FG∥BE，
∴△AFG∽△ACB，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AG}{BG}$=2，
設BG=x，則AG=2x，
∴AB=3x，
在Rt△BCG中，CG=$\sqrt{3}$，
∴BC²=（$\sqrt{3}$）²-x²，
BC=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，
由（2）得：AB²=BE•BC，
（3x）²=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3-{x}^{2}}$，
4x⁴+x²-3=0，
（x²+1）（4x²-3）=0，
x=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CD=AB=3x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題是圓和四邊形的綜合題，難度適中，考查了矩形的性質(zhì)和判定、平行相似的判定、三角形相似的性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識，注意第2和3問都應用了上一問的結論，與方程相結合，熟練掌握一元高次方程的解法．