Question

6．如圖，已知一條東西走向的河流，在河流對(duì)岸有一點(diǎn)A，小明在岸邊點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東30°方向上，小明沿河岸向東走80m后到達(dá)點(diǎn)C，測(cè)得點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏西60°方向上，則點(diǎn)A到河岸BC的距離為20$\sqrt{3}$米．

Answer 1

分析 方法1、作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)出AD=x米，在Rt△ACD中，得出CD=$\sqrt{3}$x，在Rt△ABD中，得出BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，最后用CD+BD=80建立方程即可得出結(jié)論；
方法2、先判斷出△ABC是直角三角形，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出AB，AC，再利用同一個(gè)直角三角形，兩直角邊的積的一半和斜邊乘以斜邊上的高的一半建立方程求解即可．

解答 解：方法1、過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．        
根據(jù)題意，∠ABC=90°-30°=60°，∠ACD=30°，
設(shè)AD=x米，
在Rt△ACD中，tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD=$\frac{AD}{tan∠ACD}$=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=$\frac{AD}{BD}$，
∴BD=$\frac{AD}{tan∠ABC}$=$\frac{x}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴BC=CD+BD=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=80
∴x=20$\sqrt{3}$
答：該河段的寬度為20$\sqrt{3}$米．
故答案是：20$\sqrt{3}$米．

方法2、過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．
根據(jù)題意，∠ABC=90°-30°=60°，∠ACD=30°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=80m，∠ACB=30°，
∴AB=40m，AC=40$\sqrt{3}$m，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×AC=$\frac{1}{2}$×40×40$\sqrt{3}$=800$\sqrt{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×80×AD=40AD=800$\sqrt{3}$，
∴AD=20$\sqrt{3}$米
答：該河段的寬度為20$\sqrt{3}$米．
故答案是：20$\sqrt{3}$米．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解直角三角形及勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是方向角，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角．