Question

9．趙爽弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，若這四個(gè)全等直角三角形的兩條直角邊分別平行于x軸和y軸，大正方形的頂點(diǎn)B₁、C₁、C₂、C₃、…、C_n在直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$上，頂點(diǎn)D₁、D₂、D₃、…、D_n在x軸上，則第n個(gè)陰影小正方形的面積為$（{\frac{2}{3}）}^{2n-2}$．

Answer 1

分析 設(shè)第n個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為a_n，則第n個(gè)陰影小正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{5}}{5}$a_n，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出a₁的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$a₁=$\sqrt{5}$$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，結(jié)合正方形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)第n個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為a_n，則第n個(gè)陰影小正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{5}}{5}$a_n，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{7}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a₁+$\frac{\sqrt{5}}{2}$a₁，
∴a₁=$\sqrt{5}$．
∵a₁=a₂+$\frac{1}{2}$a₂，
∴a₂=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
同理可得：a₃=$\frac{2}{3}$a₂，a₄=$\frac{2}{3}$a₃，a₅=$\frac{2}{3}$a₄，…，
∴a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$a₁=$\sqrt{5}$$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴第n個(gè)陰影小正方形的面積為$（\frac{\sqrt{5}}{5}{a}_{n}）^{2}$=$[（\frac{2}{3}）^{n-1}]^{2}$=$（\frac{2}{3}）^{2n-2}$．
故答案為：$（\frac{2}{3}）^{2n-2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及正方形的面積，找出第n個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$a₁=$\sqrt{5}$$（\frac{2}{3}）^{n-1}$是解題的關(guān)鍵．