Question

14．在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．
求證：AF=$\sqrt{3}$CF．

Answer 1

分析 由切線的性質(zhì)可知：∠OEC=∠OFC=90°，由∠ACB=90°可知四邊形OECF為矩形，然后由OE=EF可知四邊形OECF為正方形，然后再證明∠OAF=30°，從而可得到AF=$\sqrt{3}$OF，故此AF=$\sqrt{3}$FC．

解答 解：如圖所示：連接OE、OF、OA．

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)
∴OE⊥BC，OF⊥AC．
∴∠OEC=∠OFC=∠C=90°．
∴四邊形OECF是矩形．
∵OE=OF，
∴四邊形OECF是正方形．
∴OF=FC．
∵AD、AF是圓O的切線，
∴∠OAF=$\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$．
∴$AF=\sqrt{3}OF$．
∴AF=$\sqrt{3}FC$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)，證得四邊形OECF是正方形是解題的關(guān)鍵．