Question

19．已知：等邊△ABC，D，E分別是AB，BC上的點，且BD=CE，過點A向CD作垂線，垂足為F，延長CD到點P，連接PB，使∠P=30°，求證：PF=CF．

Answer 1

分析 過C作CM⊥PB交PB的延長線于M，由∠P=30°，得到CM=$\frac{1}{2}$PC，∠PCM=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=60°，AC=BC，推出△BCM≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=CM，等量代換得到CF=$\frac{1}{2}$PC，于是得到結(jié)論．

解答 證明：過C作CM⊥PB交PB的延長線于M，
∵∠P=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$PC，∠PCM=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠BCM=∠ACF，
∵AF⊥PC，
∴∠AFC=∠CMB=90°，
在△BCM與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMB=∠AFC}\\{∠BCM=∠ACF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACF，
∴CF=CM，
∴CF=$\frac{1}{2}$PC，
∴PF=CF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．