Question

9．如圖，拋物線y=-x²-2x+3 的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連結(jié)DQ．過(guò)拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若FG=2$\sqrt{2}$DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)解析式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)．
（2）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周長(zhǎng)=-2m²-8m+2，將-2m²-8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長(zhǎng)，從而求得三角形的面積，
（3）先確定出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而得出FG，再由FG=4建立方程求解即可．

解答 解：（1）由拋物線y=-x²-2x+3可知點(diǎn)C（0，3），
令y=0，則0=-x²-2x+3，
解得x=-3或x=1，
∴點(diǎn)A（-3，0），B（1，0）．
（2）由拋物線y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4可知，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN）=2（-m²-2m+3-2m-2）=-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴當(dāng)m=-2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大．
∵點(diǎn)A（-3，0），C（0，3），
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-2+3=1，則點(diǎn)E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=$\frac{1}{2}$AM•EM=$\frac{1}{2}$．
（3）∵當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-2，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，
∴N（0，0），Q（0，3），
∴點(diǎn)N應(yīng)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，
∴DQ=DC，
把x=-1代入y=-x²-2x+3，得y=4，
∴點(diǎn)D（-1，4）．
∵C（0，3），
∴DC=$\sqrt{2}$
∴DQ=DC=$\sqrt{2}$
∵FG=2$\sqrt{2}$DQ=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，
設(shè)點(diǎn)F（n，-n²-2n+3），則點(diǎn)G（n，n+3），
∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方，
∴（n+3）-（-n²-2n+3）=4，解得n=-4或n=1．
∴點(diǎn)F（-4，-5）或（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，函數(shù)的極值，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是矩形PMNQ的周長(zhǎng)=-2（m+2）²+10，是一道中等難度的中考�？碱}．