Question

14．如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/秒的速度沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q以2cm/秒的速度沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm²．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（其中曲線OG為拋物線的一部分，其余各部分均為線段）．

（1）試根據(jù)圖（2）求0＜t≤5時(shí)，△BPQ的面積y關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（2）求出線段BC、BE、ED的長(zhǎng)度；
（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和△ABE相似；
（4）如圖（3）過(guò)E作EF⊥BC于F，△BEF繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一定角度，如果△BEF中E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H、I恰好和射線BE、CD的交點(diǎn)G在一條直線，求此時(shí)C、I兩點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

分析 （1）觀察圖象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，如圖1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得$\frac{PB}{BE}$=$\frac{PM}{AB}$，求出PM，根據(jù)△BPQ的面積y=$\frac{1}{2}$•BQ•PM計(jì)算即可問(wèn)題．
（2）觀察圖象（1）（2），即可解決問(wèn)題．
（3）分三種情形討論①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分別求解即可．
（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四點(diǎn)共圓，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得$\frac{IC}{GH}$=$\frac{BI}{BH}$，由此只要求出GH即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）觀察圖象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
如圖1中，作PM⊥BC于M．

∵△ABE∽△MPB，
∴$\frac{PB}{BE}$=$\frac{PM}{AB}$，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{PM}{8}$，
∴PM=$\frac{4}{5}$t，
當(dāng)0＜t≤5時(shí)，△BPQ的面積y=$\frac{1}{2}$•BQ•PM=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{5}$t²．

（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．

（3）①當(dāng)P在BE上時(shí)，點(diǎn)C在C處時(shí)，
∵BE=BC=10，
∴當(dāng)AE=AP=6時(shí)，△PQB與△ABE相似，
∴t=6．
②當(dāng)點(diǎn)P在ED上時(shí)，觀察圖象可知，不存在△．
③當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，設(shè)PC=a，
當(dāng)$\frac{PC}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$時(shí)，∴$\frac{a}{6}$=$\frac{10}{8}$，
∴a=$\frac{15}{2}$，
此時(shí)t=10+4+（8-$\frac{15}{2}$）=14.5，
∴t=14.5s時(shí)，△PQB與△ABE相似．

（4）如圖3中，設(shè)EG=m，GH=n，

∵DE∥BC，
∴$\frac{EG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{m}{m+10}$=$\frac{4}{10}$，
∴m=$\frac{20}{3}$，
在Rt△BIG中，∵BG²=BI²+GI²，
∴（$\frac{50}{3}$）²=6²+（8+n）²，
∴n=-8+$\frac{8}{3}$$\sqrt{34}$或-8-$\frac{8}{3}$$\sqrt{34}$（舍棄），
∵∠BIH=∠BCG=90°，
∴B、I、C、G四點(diǎn)共圓，
∴∠BGH=∠BCI，
∵∠GBF=∠HBI，
∴∠GBH=∠CBI，
∴△GBH∽△CBI，（也可以先證明△BFI∽△GFC，想辦法推出△GFB∽△CFI，推出∠BGH=∠BCI）
∴$\frac{IC}{GH}$=$\frac{BI}{BH}$，
∴$\frac{IC}{-8+\frac{8}{3}\sqrt{34}}$=$\frac{6}{10}$，
∴IC=$\frac{8\sqrt{34}}{5}$-$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．