Question

5．（1）觀察圖1中圖形與等式的關(guān)系，并填空：

（2）觀察圖2，根據(jù)（1）中結(jié)論，計算圖中黑球的個數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空：
1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n-1）+…+5+3+1=2n²+2n+1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)1+3+5+7=16可得出16=4²；設(shè)第n幅圖中球的個數(shù)為a_n，列出部分a_n的值，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律“a_n-1=1+3+5+…+（2n-1）=n²”，依此規(guī)律即可解決問題；
（2）觀察（1）可將（2）圖中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再結(jié)合（1）的規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）1+3+5+7=16=4²，設(shè)第n幅圖中球的個數(shù)為a_n，
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a₁=1+3=2²，a₂=1+3+5=3²，a₃=1+3+5+7=4²，…，
∴a_n-1=1+3+5+…+（2n-1）=n²．故答案為：4²；n²．
（2）觀察圖形發(fā)現(xiàn)：
圖中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，
即1+3+5+…+（2n-1）+[2（n+1）-1]+（2n-1）+…+5+3+1，
=1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n-1）+…+5+3+1，
=a_n-1+（2n+1）+a_n-1，
=n²+2n+1+n²，
=2n²+2n+1．
故答案為：2n+1；2n²+2n+1．

點(diǎn)評 本題考查了規(guī)律型中圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖中小球數(shù)量的變化找出變化規(guī)律“a_n-1=1+3+5+…+（2n-1）=n²”．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，羅列出部分圖中球的數(shù)量，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．