Question

6．如圖，四邊形ABCD是以原點(diǎn)O為對稱中心的矩形，A（1，3），D（3，1），AB和CD分別與y軸交于點(diǎn)E、F，連接OB．
（1）寫出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求四邊形OBCF的面積；
（3）判斷點(diǎn)（1，-0.8）在矩形ABCD的內(nèi)部還是外部；
（4）要使直線y=$\frac{1}{2}$x+m與矩形ABCD沒有公共點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由O為對稱中心可知，A和C、B和D關(guān)于原點(diǎn)對稱，可求得B、C的坐標(biāo)；
（2）由C、D坐標(biāo)可求得直線CD的解析式，可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理可求得BC、CD、CF的長，過O作OM⊥CD、ON⊥BC，垂足分別為M、N，則可求得△BOC和COF的面積，可求得四邊形OBCF的面積；
（3）把x=1代入（2）中直線CD的解析式可求得對應(yīng)的y值，與-0.8進(jìn)行比較即可；
（4）當(dāng)直線過A點(diǎn)和C點(diǎn)時直線與矩形有一個公共點(diǎn)，可求得沒有公共點(diǎn)時m的取值范圍．

解答 解：
（1）∵四邊形ABCD是以原點(diǎn)O為對稱中心的矩形，
∴A和C、B和D關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴B（-3，-1），C（-1，-3）；

（2）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=1}\\{-k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線CD解析式為y=x-2，
∴F（0，-2），
∵B（-3，-1），C（-1，-3），D（3，1），
∴BC=$\sqrt{（-3+1）^{2}+（-1+3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（-3+2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（-1-3）^{2}+（-3-1）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
過O作OM⊥CD、ON⊥BC，垂足分別為M、N，如圖，

∵四邊形ABCD為矩形，
∴OM=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，ON=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
∴S_{四邊形OBCF}=S_△OBC+S_△OCF=$\frac{1}{2}$BC•ON+$\frac{1}{2}$CF•OM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=5；

（3）在y=x-2中，當(dāng)x=1時可得y=-1，
∵-0.8＞-1，
∴點(diǎn)（1，-0.8）在點(diǎn)（1，-1）的上方，
即點(diǎn)（1，-0.8）在矩形的內(nèi)部；
（4）當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+m過A、C點(diǎn)時，直線與矩形只有一個公共點(diǎn)，
把A（1，3）代入可得3=$\frac{1}{2}$+m，解得m=$\frac{5}{2}$，
把C（-1，-3）代入可得-3=-$\frac{1}{2}$+m，解得m=-$\frac{5}{2}$，
∴當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+m與矩形ABCD沒有公共點(diǎn)，m的取值范圍為m＜-$\frac{5}{2}$或m＞$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理、三角形的面積等知識．在（1）中利用矩形的對稱性容易求得B、C的坐標(biāo)，在（2）中把四邊形轉(zhuǎn)化成兩個三角形是解題的關(guān)鍵，在（3）中判斷出點(diǎn)在CD的上方還是下方是解題的關(guān)鍵，在（4）中求得直線與矩形有一個公共點(diǎn)時m的值是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．