Question

3．如圖，將一塊等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，AC=BC，點A在y軸的正半軸上，點C在x軸的負半軸上，點B在第二象限．
（1）若AC所在直線的函數(shù)表達式是y=2x+4．
①求AC的長；
②求點B的坐標(biāo)；
（2）若（1）中AC的長保持不變，點A在y軸的正半軸滑動，點C隨之在x軸的負半軸上滑動．在滑動過程中，點B與原點O的最大距離是5+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系，可得A，C點坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得答案；
②根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CD，BD的長，可得B點坐標(biāo)；
（2）首先取AC的中點E，連接BE，OE，OB，可求得OE與BE的長，然后由三角形三邊關(guān)系，求得點B到原點的最大距離．

解答 解：（1）①當(dāng)x=0時，y=2x+4=4，
∴A（0，4）；
當(dāng)y=2x+4=0時，x=-2，
∴C（-2，0）．
∴OA=4，OC=2，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
②過點B作BD⊥x軸于點D，如圖1所示．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD．
在△AOC和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠CDB=90°}\\{∠CAO=∠BCD}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=AO=4，DB=OC=2，
OD=OC+CD=6，
∴點B的坐標(biāo)為（-6，2）．
（2）如圖2所示．
取AC的中點E，連接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=2$\sqrt{5}$，
∴OE=CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{5}$，
∵BC⊥AC，BC=2$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
若點O，E，B不在一條直線上，則OB＜OE+BE=5+$\sqrt{5}$．
若點O，E，B在一條直線上，則OB=OE+BE=5+$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)O，E，B三點在一條直線上時，OB取得最大值，最大值為5+$\sqrt{5}$，
故答案為：5+$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系是解①的關(guān)鍵，又利用了勾股定理；解②的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出CD，BD的長；解（2）的關(guān)鍵是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．