Question

1．如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由：

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據等腰三角形的判定，可得三角形三邊的關系，分類討論：PD=CD，根據勾股定理，可得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，根據圖象上的點滿足函數解析式，可得關于x的方程，根據解方程，可得答案；PD=CD時，根據對稱性，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0，3），
∴設拋物線解析式為y=ax²+bx+3，
根據題意，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）存在點P，使得△PDC是等腰三角形．
由y=-x²+2x+3，得
D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1，
①若以CD為底邊，則PD=PC，設P點坐標為（x，y），
根據勾股定理，得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，即y=4-x．
又P點（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，即x²-3x+1=0，
解得：x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜1 （不合題意，舍去），
所以x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，y=4-x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
即點P的坐標為（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）；
②若以CD為一腰，PD=CD，因為點P在對稱軸右側的拋物線上，
由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x=1對稱，此時點P坐標為（2，3），
綜上所述：符合條件的點P坐標為（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）  或（2，3）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，函數圖象的對稱性，分類討論是解題關鍵，以防遺漏．