Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：形如y=a（x-m）²+a（x-m）與y=a（x-m）²-a（x-m）的兩個二次函數(shù)的圖象叫做“兄弟拋物線”．
（1）試寫出一對兄弟拋物線的解析式y(tǒng)=2（x-3）²+2（x-3）與y=2（x-3）²-2（x-3）；
（2）判斷二次函數(shù)y=x²-x與y=x²-3x+2的圖象是否為兄弟拋物線？如果是，求出a與m的值；如果不是，請說明理由；
（3）若一對兄弟拋物線各自與x軸的兩個交點和其頂點構(gòu)成直角三角形，其中一個拋物線的對稱軸為直線x=2且開口向上，請直接寫出這對兄弟拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義，只要兩個解析式給出相同的a值和相同的m值即可；
（2）通過變形得到y(tǒng)=x²-x=（x-1）²+（x-1），y=x²-3x+2=（x-1）²-（x-1），于是根據(jù)新定義可判斷二次函數(shù)y=x²-x與y=x²-3x+2的圖象是兄弟拋物線；
（3）設(shè)對稱軸為直線x=2且開口向上的拋物線解析式為y=2（x-2）²+k（k＜0），如圖，利用拋物線的對稱性可判斷△PAB為等腰直角三角形，則利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=-2k，所以B（2-k，0），
再把B（2-k，0）代入y=2（x-2）²+k可解得k₁=0（舍去），k₂=-$\frac{1}{2}$，于是得到A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{5}{2}$，0），所以拋物線解析式為y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$），然后根據(jù)新定義寫出它的兄弟拋物線的解析式．

解答 解：（1）拋物線y=2（x-3）²+2（x-3）與y=2（x-3）²-2（x-3）是兄弟拋物線；
故答案為y=2（x-3）²+2（x-3），y=2（x-3）²-2（x-3）；
（2）二次函數(shù)y=x²-x與y=x²-3x+2的圖象是兄弟拋物線，理由如下：
∵y=x²-x=（x-1）²+（x-1），
y=x²-3x+2=（x-1）²-（x-1），
∴二次函數(shù)y=x²-x與y=x²-3x+2的圖象是兄弟拋物線．此時a=1，m=1．
（3）設(shè)對稱軸為直線x=2且開口向上的拋物線解析式為y=2（x-2）²+k（k＜0），如圖，
∵△PAB為直角三角形，
∴△PAB為等腰直角三角形，
∴AB=-2k，
∴B（2-k，0），
把B（2-k，0）代入y=2（x-2）²+k得2k²+k=0，解得k₁=0（舍去），k₂=-$\frac{1}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{5}{2}$，0），
∴拋物線解析式為y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$），
當(dāng)y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$-1），則與y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$-1）成一對兄弟拋物線的另一個二次函數(shù)為y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$+1）=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{1}{2}$），即y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$）與y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{1}{2}$）為兄弟拋物線；
當(dāng)y=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$+1），則與y=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$+1）成一對兄弟拋物線的另一個二次函數(shù)為y=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$-1）=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{7}{2}$），即y=2（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$）與y=2（x-$\frac{5}{2}$）（x-$\frac{7}{2}$）為兄弟拋物線．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．