Question

10．在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，CD使斜邊AB上的高，則三個直角三角形（△ABC，△ACD，△BCD）的內切圓半徑的和等于$\frac{{ab\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{{{a^2}+{b^2}}}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，由CD是斜邊AB上的高，根據(jù)三角形的面積公式得到CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，根據(jù)射影定理得到AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，AD=$\frac{^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，BD=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，然后根據(jù)三角形內切圓的半徑=$\frac{a+b-c}{2}$，即可得到結果．

解答 解：如圖，在Rt△ABC中，∵BC=a，AC=b，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∵CD是斜邊AB上的高，
∴CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
∵∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△BCD∽△ABC，
∴AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，
∴AD=$\frac{^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，BD=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
設直角三角形△ABC，△ACD，△BCD的內切圓半徑分別為：r₁，r₂，r₃，
∴r₁+r₂+r₃=$\frac{a+b-\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{2}$+$\frac{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}+\frac{^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}-b}{2}$+$\frac{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}+\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}-a}{2}$=$\frac{2ab}{2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab\sqrt{{a}_{2}+^{2}}}{{a}^{2}+^{2}}$．
故答案為：$\frac{{ab\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{{{a^2}+{b^2}}}$．

點評 本題考查了三角形的內切圓和內心，直角三角形的性質，射影定理，熟練掌握直角三角形的內切圓的半徑=$\frac{a+b-c}{2}$是解題的關鍵．