Question

5．在△ABC中，D，E分別為AB，AC上一點(diǎn)，DE交AF于H，HG⊥BC，連接DG，GE．
（1）證明：GH為△DGE的一條平分線；
（2）過H的一條直線交DF，AE分別于M，N，證明：GH為△MNG的一條角平分線．

Answer 1

分析 （1）首先延長ED與CB的延長線交于K，利用梅涅勞斯定理以及塞瓦定理得出$\frac{DK}{KE}$=$\frac{DH}{HE}$，進(jìn)而由調(diào)和點(diǎn)列結(jié)論1得，GH平分∠DGE，求出即可；
（2）首先延長NM交BC于S，連接AM并延長，交BC于T，梅涅勞斯定理以及塞瓦定理得出$\frac{MS}{SN}$=$\frac{MH}{HN}$，進(jìn)而由調(diào)和點(diǎn)列結(jié)論1得，GH平分∠MGN，求出即可．

解答 證明：（1）延長ED與CB的延長線交于K，
對于直線CBK截得△ADE，由梅涅勞斯定理得：
$\frac{AB}{BD}$•$\frac{DK}{KE}$•$\frac{EC}{CA}$=1①，
對于點(diǎn)F與△ADE，由塞瓦定理得：
$\frac{AB}{BD}$•$\frac{DH}{HE}$•$\frac{EC}{CA}$=1②，
①=②得：$\frac{DK}{KE}$=$\frac{DH}{HE}$，
∴線段DE被點(diǎn)H、K調(diào)和，
∵∠KGH=90°，
由調(diào)和點(diǎn)列結(jié)論1得，GH平分∠DGE，
即GH為△DGE的一條平分線；

（2）延長NM交BC于S，連接AM并延長，交BC于T，對于直線STC截得△AMN，
由梅涅勞斯定理得：$\frac{AT}{TM}$•$\frac{MS}{SN}$•$\frac{NC}{CA}$=1①，
對于點(diǎn)F與△AME，由塞瓦定理得：
$\frac{AT}{TM}$•$\frac{NH}{HN}$•$\frac{NC}{CA}$=1②，
①=②得，$\frac{MS}{SN}$=$\frac{MH}{HN}$，
∴線段MN被點(diǎn)H、S調(diào)和，
∵∠KGH=90°，
由調(diào)和點(diǎn)列結(jié)論1得，GH平分∠MGN，
即GH為△MNG的一條角平分線．

點(diǎn)評 此題主要考查了梅涅勞斯定理與賽瓦定理，根據(jù)題意正確應(yīng)用梅涅勞斯定理與賽瓦定理得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．