Question

1．問(wèn)題情境：
在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-4，-1）、B（1.11），如果要求A、B兩點(diǎn)之間的距離，可以構(gòu)造如圖1所示的直角三角形，則A、B兩點(diǎn)之間的距離為13．
結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面內(nèi)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)之間的距離等于$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$．
探究1：求代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-3）^{2}+4}$的最小值．
解：$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-3）^{2}+4}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}+\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$
如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P（x，0）是x軸上一點(diǎn)，
則$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}$可以看成點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（0，1）的距離
$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$可以看成點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)B（3，2）的距離，
所以原代數(shù)式的值可以看成線(xiàn)段PA與PB的長(zhǎng)度之和，PA+PB的最小值就是原代數(shù)式的最小值．
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點(diǎn)A′、B之間的所有連線(xiàn)中線(xiàn)段最短，所以PA′+PB的最小值為線(xiàn)段A′B的長(zhǎng)度．為此，構(gòu)造直角三角形A′CB，因?yàn)锳′C=3，CB=3，所以A′B=$3\sqrt{2}$
，即$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-3）^{2}+4}$的最小值為$3\sqrt{2}$．
探究2：求代數(shù)式$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的最小值．
解：$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}}+9$的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（2，1）、點(diǎn)B（4，3）的距離之和，$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$ 的最小值為2$\sqrt{5}$．
探究3：代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$的最小值為2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 如圖1，利用勾股定理計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離；
對(duì)于探究2，由于$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-3）^{2}}$，則$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（2，1）、點(diǎn)B（4，3）的距離之和，利用探究1的方法，求出點(diǎn)A（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′（2，-1），再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出BA′=2$\sqrt{5}$，則得到$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$ 的最小值為2$\sqrt{5}$；
對(duì)于探究3，先變形得到$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，然后根據(jù)探究1的方法求解．

解答 解：如圖1，A、B兩點(diǎn)之間的距離=$\sqrt{（1+4）^{2}+（11+1）^{2}}$=13；
探究2：求代數(shù)式$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的最小值．
解：$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-3）^{2}}$，
所以$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（2，1）、點(diǎn)B（4，3）的距離之和，
點(diǎn)A（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′（2，-1），則BA′=$\sqrt{（4-2）^{2}+（3+1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
所以$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$ 的最小值為2$\sqrt{5}$；
探究3：$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，
所以$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（0，5）、點(diǎn)B（2，1）的距離之和，
而點(diǎn)A（0，5）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′（0，-5），則BA′=$\sqrt{（2-0）^{2}+（1+5）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
故答案為13；2，1，4，3；2$\sqrt{5}$；2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題：在直線(xiàn)L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線(xiàn)L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線(xiàn)與直線(xiàn)L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．