Question

13．如圖1，等邊△ABC的邊長為4cm，動點D從點B出發(fā)，沿射線BC方向移動，以AD為邊作等邊△ADE．
（1）在點D運動的過程中，點E能否移動至直線AB上？若能，求出此時BD的長；若不能，請說明理由；
（2）如圖2，在點D從點B開始移動至點C的過程中，以等邊△ADE的邊AD、DE為邊作?ADEF．
①?ADEF的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由；
②若點M、N、P分別為AE、AD、DE上動點，直接寫出MN+MP的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知：∠BAC=∠ACB=∠EAD=60°，由三角形外角的性質(zhì)可知∠ACB=∠CAD+∠ADC=60°，從而可知：∠CAD＜60°，所以∠CAD+∠BAC+∠EAD＜180°，故此點E不能移動到直線AB上；
（2）因為△ADE的面積=$\frac{1}{2}$AD•ADsin60°，所以當AD最短時，△ADE的面積有最小，根據(jù)垂線段最短可知當AD⊥BC時，△ADE的面積有最小值，四邊形ADEF為平四邊形，AE為對角線，所以平行四邊形ADEF的面積是△ADE面積的2倍，所以三角形ADE的面積最小時，平行四邊形的面積最��；
（3）當點N、M、P在一條直線上，且NP⊥AD時，MN+MP有最小值，最小值為AD與EF之間的距離．

解答 解：（1）不存在．
理由：如圖1所示：

∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠EAD=60°．
∵∠ACB=∠CAD+∠ADC=60°，
∴∠CAD＜60°，
又∵∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠CAD+∠BAC+∠EAD＜180°．
∴點E不能移動到直線AB上．
（2）①存在：在圖（2）中，當AD⊥BC時△ADE的面積最�。�

在Rt△ADB中，AD=ABsin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∴△ADE的面積=$\frac{1}{2}$AD•ADsin60°=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∵四邊形ADEF為平四邊形，AE為對角線，
∴平行四邊形ADEF的面積是△ADE面積的2倍．
∴?ADEF的面積的最小值=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$；
②如圖3所示：作點P關于AE的對稱點P₁，

當點N、M、P在一條直線上，且NP⊥AD時，MN+MP有最小值，
過點A作AG∥NP₁，
∵AN∥GP₁，AG∥NP₁，
∴四邊形ANP₁G為平行四邊形．
∴NP₁=AG=AF•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
即MN+MP的最小值為3

點評 本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)，特殊銳角三角函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)以及最短路徑等知識點，明確?ADEF的面積最小和MN+MP有最小值時的條件時解題的關鍵．