Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O開始沿y軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B、C是一次 函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)B（m，2）．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，PC=BC，且∠PCB=90°．
（1）試求反比例y=$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）和一次函數(shù)y=kx+b的解析式；
（2）設(shè)a=|PB-PC|，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，m的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）作CA⊥PB于A，如圖，由B（m，2），P（0，2）可判斷BC∥x軸，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CA=PA=BA=$\frac{1}{2}$m，所以C（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$m+2），利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得2m=$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$m+2），解得m=0（舍去）或m=4，則把B（4，2）代入y=$\frac{a}{x}$得a的值，于是反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$；然后把B（4，2），C（2，4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解方程組可得一次函數(shù)解析式為y=-x+6；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），而B（4，2），C（2，4），根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得n=|PB-PC|≤BC（當(dāng)點(diǎn)P為一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)時(shí)，取等號），則n的最大值為BC，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），接著計(jì)算出BC=2$\sqrt{2}$，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（0，6）時(shí)，n的最大值是2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）作CA⊥PB于A，如圖，
∵B（m，2），P（0，2），
∴BC∥x軸，
∵CP=CB，∠PCB=90°，CA⊥PB，
∴CA=PA=BA=$\frac{1}{2}$m，
∴C（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$m+2），
∵點(diǎn)B、C是反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）的點(diǎn)，
∴2m=$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$m+2），解得m=0（舍去）或m=4，
∴B（4，2），C（2，4），
把B（4，2）代入y=$\frac{a}{x}$得a=4×2=8，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$；
把B（4，2），C（2，4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y=-x+6；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），而B（4，2），C（2，4），
∵n=|PB-PC|≤BC（當(dāng)點(diǎn)P為一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)時(shí)取等號），
∴n的最大值為BC，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
而BC=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（0，6）時(shí)，n的值最大，最大值是2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．