Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線m經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與x軸正半軸成60度的角．若點(diǎn)N到x軸、直線m的距離分別為2和1，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，2）或（0，-2）或（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）或（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2）．

Answer 1

分析 由題意可知點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2或-2，當(dāng)N在x軸上方時(shí)，過(guò)N作x軸的垂直交直線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)F，過(guò)N作NE⊥直線m，垂足為E，當(dāng)N在直線m下方時(shí)則有∠OMN=30°，當(dāng)N在直線m上方時(shí)則有∠NME=30°，利用直角三角形的性質(zhì)可求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性可求得N在x軸下方時(shí)的坐標(biāo)，可得出答案．

解答 解：∵N到x軸的距離為2，
∴N點(diǎn)縱坐標(biāo)為2或-2，
當(dāng)N點(diǎn)在x軸上方時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)N在直線m下方時(shí)，
如圖1，過(guò)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線m于點(diǎn)M，過(guò)N作NE⊥直線m，垂足為E，則NE=1，

∵∠MOF=60°，
∴∠OMF=30°，
在Rt△MEN中，MN=2NE=2，
∴MF=2+2=4，
∴OF=FMtan30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）；
②當(dāng)N點(diǎn)在直線m上方時(shí)，如圖2，過(guò)N作NE⊥直線m于點(diǎn)E，

則NE=1，且直線m與y軸的夾角為30°，
∵N到x軸的距離為2，
∴N點(diǎn)在y軸上，
∴此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
當(dāng)N點(diǎn)在x軸下方時(shí)，由對(duì)稱性可知N點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2）或（0，-2）；
綜上可知N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，2）或（0，-2）或（$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，2）或（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2）．
故答案為：（0，2）或（0，-2）或（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）或（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)和直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件確定出N點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．