Question

20．如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過(guò)C地，圖中AC=50千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規(guī)劃的需要，將在A，B兩地之間修建一條筆直的公路．
（1）求改直的公路AB的長(zhǎng)；
（2）問(wèn)公路改直后比原來(lái)縮短了多少千米？（保留到小數(shù)點(diǎn)后1位）
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中根據(jù)CH=AC•sin∠CAB求出CH的長(zhǎng)，由AH=AC•cos∠CAB求出AH的長(zhǎng)，同理可得出BH的長(zhǎng)，根據(jù)AB=AH+BH可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA可得出BC的長(zhǎng)，由AC+BC-AB即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈50×0.42=21千米，
AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈50×0.91=45.5千米，
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=21÷tan37°≈21÷0.75=28千米，
∴AB=AH+BH=45.5+28=73.5千米．
故改直的公路AB的長(zhǎng)73.5千米；
（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=21÷sin37°≈21÷0.6=35千米，
則AC+BC-AB=50+35-73.5=11.5千米．
答：公路改直后比原來(lái)縮短了11.5千米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．