Question

15．已知，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，∠BAD的平分線交DC于點(diǎn)E，∠DAF=22.5°，若點(diǎn)P、Q分別是AD、AF上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先在AE上取點(diǎn)M，使得AM=AP，作DN⊥AE于點(diǎn)N，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△APQ≌△AMQ，即可判斷出DQ+PQ=DM；最后根據(jù)DN⊥AE，求出DN的值，即可判斷出DQ+PQ的最小值，據(jù)此解答即可．

解答 解：如圖1，在AE上取點(diǎn)M，使得AM=AP，作DN⊥AE于點(diǎn)N，
，
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠DAE=90°÷2=45°，
∵∠DAF=22.5°，
∴∠EAF=45°-22.5°=22.5°，
∴∠DAF=∠EAF，
在△APQ和△AMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AM}\\{∠PAQ=∠MAQ}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△APQ≌△AMQ，
∴PQ=MQ，
∴DQ+PQ=DQ+MQ=DM，
∵DN⊥AE，DN=AD×sin45°=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴DQ+PQ的最小值為3$\sqrt{2}$．
故答案為：$3\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了軸對稱-最短路線問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．
（2）此題還考查了矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)．