Question

8．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB、BC上，AE=BF=1，小球P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線EF向點(diǎn)F運(yùn)動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當(dāng)小球P第一次碰到點(diǎn)E時，小球P所經(jīng)過的路程長為（　�。�

• A． 12
• B． 9
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 6$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{1}{2}$，通過相似三角形，來確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)．再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過的路徑的總長度．

解答 解：根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{1}{2}$，第一次碰撞點(diǎn)為F，在反射的過程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關(guān)系的三角形的相似可得第二次碰撞點(diǎn)為G，在DA上，且DG=$\frac{1}{6}$DA，第三次碰撞點(diǎn)為H，在DC上，且DH=$\frac{1}{3}$DC，第四次碰撞點(diǎn)為M，在CB上，且CM=$\frac{1}{3}$BC，第五次碰撞點(diǎn)為N，在DA上，且AN=$\frac{1}{6}$AD，第六次回到E點(diǎn)，AE=$\frac{1}{3}$AB．
由勾股定理可以得出EF=$\sqrt{5}$，F(xiàn)G=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，GH=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$，HM=$\sqrt{5}$，MN=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，NE=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$，
故小球經(jīng)過的路程為：$\sqrt{5}+\frac{3}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\sqrt{5}+\frac{3}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\sqrt{5}=6\sqrt{5}$，
故選D．

點(diǎn)評 本題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運(yùn)用．通過相似三角形的性質(zhì)來確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來確定小球經(jīng)過的路程，是一道數(shù)學(xué)物理學(xué)科綜合試題，難度較大．