Question

20．如圖，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，兩動點P、Q分別同時從頂點D、B出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊DA、BC方向向點A、C運動（端點不計），設(shè)運動時間為t（s），連接AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于點E，作PF∥AQ交DQ于點F．
（1）求證：△APE∽△PDF；
（2）填空：
①當(dāng)t=2.5s時，四邊形PEQF為菱形；
②當(dāng)t=1或4s時，四邊形PEQF為矩形．

Answer 1

分析 （1）由PE∥DQ得到∠APE=∠PDF，由PF∥AQ得到∠PAE=∠DPF，于是可判斷△APE∽△PDF；
（2）①當(dāng)點P和點Q分別運動到AD和BC的中點時，先利用PE∥DQ，PF∥AQ可判斷四邊形PEQF為平行四邊形，由于點P為AD的中點，則AP=DP，接著根據(jù)△APE∽△PDF，利用相似比為1即可判斷△APE≌△PDF，則PE=PF，于是得到四邊形PEQF為菱形此時t=2.5s；
②當(dāng)∠AQD=90°時，四邊形PEQF為矩形，證明Rt△ABQ∽Rt△QCD，利用相似比得$\frac{2}{5-t}$=$\frac{t}{2}$，解得t=1或4，即t=1或4s時，四邊形PEQF為矩形．

解答 （1）證明：∵PE∥DQ，
∴∠APE=∠PDF，
∵PF∥AQ，
∴∠PAE=∠DPF，
∴△APE∽△PDF；
（2）解：①當(dāng)點P和點Q分別運動到AD和BC的中點時，即t=2.5s，四邊形PEQF為菱形．理由如下：
∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四邊形PEQF為平行四邊形，
∵點P為AD的中點，
∴AP=DP，
而△APE∽△PDF，
∴△APE≌△PDF，
∴PE=PF，
∴四邊形PEQF為菱形；
②當(dāng)∠AQD=90°時，四邊形PEQF為矩形，
則∠AQB=∠QDC，
∴Rt△ABQ∽Rt△QCD，
∴$\frac{AB}{CQ}$=$\frac{BQ}{DC}$，即$\frac{2}{5-t}$=$\frac{t}{2}$，解得t=1或4，
即t=1或4s時，四邊形PEQF為矩形．
故答案為2.5s；1或4．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．也考查了菱形的判定與矩形的判定．