Question

13．如圖，拋物線y=kx²-2kx-3經(jīng)過點(diǎn)P（4，5），過點(diǎn)P的直線AM：y=mx+t₁（m＜0）與拋物線交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)P的另一直線BN：y=nx+t₂（n＞0）與拋物線交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)B，已知PA=PB．
（1）直接寫出拋物線的解析式為y=x²-2x-3
問題探究：若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-3，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為-1，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-4，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為0；
（2）結(jié)論猜想：若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為b，請(qǐng)根據(jù)（1）猜想a，b之間的數(shù)量關(guān)系為a+b=-4，并給予證明．
（3）綜合應(yīng)用：已知直線y=-x+n與拋物線y=-x²+4交于A，B兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，連接PA，PB分別交y軸，x軸于點(diǎn)D，C，使∠DPB=2∠PCO，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)P（4，5）代入拋物線y=kx²-2kx-3的解析式求出k即可．
（2）結(jié)論：a+b=-4．由M（a，a²-2a-3），P（4，5），得到直線PM的解析式為y=（a+2）x-4a-3，由PB=PA，可得直線PB的解析式為y=-（a+2）x+4a+13，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（a+2）x+4a+13}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a-4}\\{y={a}^{2}+10a+13}\end{array}\right.$，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為b=-a-4，由此即可解決問題．
（3）如圖2中，延長PA交x軸于M．設(shè)P（m，-m²+4），由直線y=-x+n與拋物線y=-x²+4交于A，B兩點(diǎn)，可知A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為1，設(shè)A（a，-a²+4），B[1-a，-（1-a）²+4]，由∠DPB=2∠PCO=∠PMC+∠PCM，推出∠PMC=∠PCM，推出PM=PC，可知k_PA+k_PC=0，可得方程$\frac{-{m}^{2}+4+{a}^{2}-4}{m-a}$+$\frac{-{m}^{2}+4+（1-a）^{2}-4}{m-1+a}$=0，解方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=kx²-2kx-3經(jīng)過點(diǎn)P（4，5），
∴5=16k-8k-3=0，
∴k=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
由題意當(dāng)M（-3，12），P（4，5），
∴直線PM的解析式為y=-x+9，
∴A（（9，0），
∴PA=PB，
∴B（-1，0），
∴直線PB的解析式為y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)（-1，0）．
當(dāng)M（-4，21）時(shí)，直線PM的解析式為y=-2x+13，
∴A（6.5，0），∵PA=PB，
∴B（1.5，0），
∴直線PB的解析式為y=2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)N（0，-3）．
故答案分別為y=x²-2x-3，-1，0．

（2）結(jié)論：a+b=-4．
理由：如圖1中，

∵M(jìn)（a，a²-2a-3），P（4，5），
∴直線PM的解析式為y=（a+2）x-4a-3，
∵PB=PA，可得直線PB的解析式為y=-（a+2）x+4a+13，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（a+2）x+4a+13}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a-4}\\{y={a}^{2}+10a+13}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為b=-a-4，
∴a+b=-4．
故答案為a+b=-4．

（3）如圖2中，延長PA交x軸于M．設(shè)P（m，-m²+4）

由直線y=-x+n與拋物線y=-x²+4交于A，B兩點(diǎn)，可知A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為1，設(shè)A（a，-a²+4），B[1-a，-（1-a）²+4]，
∵∠DPB=2∠PCO=∠PMC+∠PCM，
∴∠PMC=∠PCM，
∴PM=PC，
∴k_PA+k_PC=0，
∴$\frac{-{m}^{2}+4+{a}^{2}-4}{m-a}$+$\frac{-{m}^{2}+4+（1-a）^{2}-4}{m-1+a}$=0，
∴-m-a-1+a-m=0，
∴2m=-1，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、兩直線的位置關(guān)系與斜率之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，第三個(gè)問題的突破點(diǎn)是k_PA+k_PC=0，屬于中考?jí)狠S題．