Question

4．（1）如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，DE⊥AB于點E、DF⊥AC于點F．求證：DE=DF；
（2）如圖2，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，點D是BC邊上的動點，DE⊥AB于點E、DF⊥AC于點F．請問DE+DF的值是否隨點D位置的變化而變化？若不變，請直接寫出DE+DF的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AD，D是BC的中點，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點到角兩邊的距離相等，那么DE=DF；
（2）連接AD，根據(jù)三角形的面積公式即可得到$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=12，進而求得DE+DF的值．

解答 （1）證明：如圖1，連接AD．
∵AB=AC，點D是BC邊上的中點，
∴AD平分∠BAC，
∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．
∴DE=DF．
      
（2）解：不變．
如圖2所示：連接AD，
∵AB=AC=13，BC=10，
∴△ABC底邊BC上的高=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×BC×12=60，
∴$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=60，
∴DE+DF=$\frac{120}{13}$，
故答案為：$\frac{120}{13}$．

點評 本題考查的是勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．