Question

15．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、BC、DC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S₁=7，S₂=4，則S₃的面積是44．

Answer 1

分析 延長DA、CB交于點E，由正方形的性質(zhì)得出AD=$\sqrt{7}$，BC=2，由平行線得出△ABE∽△DCE，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CD}$，得出DE=2AE=2AD=2$\sqrt{7}$，CE=2BE=2BC=4，證出∠E=90°，由勾股定理求出CD²即可．

解答 解：延長DA、CB交于點E，如圖所示：
∵S₁=7，S₂=4，
∴AD=$\sqrt{7}$，BC=2，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CD}$，
∵DC=2AB，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=2AE=2AD=2$\sqrt{7}$，CE=2BE=2BC=4，
∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠E=90°，
∴CD²=DE²+CE²=（2$\sqrt{7}$）²+4²=44，
∴S=44；
故答案為：44．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定等知識；本題綜合性強，證明三角形相似和運用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．