Question

4．已知一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩根的積大22，求k的值．

Answer 1

分析 設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為a、b，先根據(jù)判別式的意義確定k≤$\frac{1}{4}$，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=-（2k-1），ab=k²，根據(jù)題意得a²+b²=ab+22，利用配方法得（a+b）²-3ab-22=0，所以（2k-1）²-3k²-22=0，解得k₁=7，k₂=-3，然后根據(jù)k的范圍確定k的值．

解答 解：根據(jù)題意得△=（2k-1）²-4k²≥0，解得k≤$\frac{1}{4}$，
設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為a、b，則a+b=-（2k-1），ab=k²，
因?yàn)閍²+b²=ab+22，則（a+b）²-3ab-22=0，
所以（2k-1）²-3k²-22=0，
整理得k²-4k-21=0，解得k₁=7，k₂=-3，
所以k的值為-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了判別式的意義．