Question

12．如圖，AD是△ABC斜邊上的高，∠ABD平分線交AD于M，∠DAC的平分線交CD于N，求證：MN∥AC．

Answer 1

分析 連接EN，先證出AM=AE，再由ASA證明△ABG≌△NBG，得出AG=NG，證出四邊形AMNE是平行四邊形，得出對(duì)邊平行即可．

解答 證明：連接EN，如圖所示：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．∵BE是∠ABC的平分線．∴∠ABM=∠EBD．∵∠AME=∠MAB+∠ABM，∠AEM=∠C+∠EBD，∴∠AME=∠AEM，∴AM=AE，∵AN是∠DAC的平分線，
∴AG⊥BE，MG=EG，∴∠AGB=∠NGB=90°，在△ABG和△NBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠NBG}&{\;}\\{BG=BG}&{\;}\\{AGB=∠NGB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△NBG（ASA），
∴AG=NG，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE，
即MN∥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)；本題有一定難度，需要作輔助線證明三角形全等得出平行四邊形才能得出結(jié)論．