Question

16．如圖，在坐標系中△ABO為直角三角形，且∠A=30°，點B（0，6）．現(xiàn)有一動點P從點B出發(fā)向點A移動；另有一條平行于y軸的直線l從點A出發(fā)，沿著x軸向左運動．若點P與直線l同時出發(fā)，且運動速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t（s），設直線l與線段AO交點為Q，與x軸交點為R，是否存在這樣的時間t，使得△APQ為等腰三角形？若存在，求出這樣的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 存在這樣的時間t，使得△APQ為等腰三角形，分三種情況考慮：若PQ=AQ，如圖1所示；若AP=AQ，如圖2所示；若AP=PQ，如圖3所示，根據題意分別求出各自t的值即可．

解答 解：存在這樣的時間t，使得△APQ為等腰三角形，
分三種情況考慮：
若PQ=AQ，如圖1所示，

由題意得：BP=AM=t，
∵△APQ為等腰三角形，且QM⊥AP，
∴AM=PM=t，
∵Rt△AOB中，∠A=30°，BO=6，
∴OA=12，AB=6$\sqrt{3}$，
∴t+t+t=6$\sqrt{3}$，
解得：t=2$\sqrt{3}$s；
若AP=AQ，如圖2所示，

由題意得：BP=AM=t，AP=AB-BP=6$\sqrt{3}$-t，
在Rt△AMQ中，AQ=$\frac{AM}{cos30°}$=$\frac{t}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
∴6$\sqrt{3}$-t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
解得：t=$\frac{6\sqrt{3}}{1+\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=18（2-$\sqrt{3}$）=（36-18$\sqrt{3}$）s；
若AP=PQ，如圖3所示，

由題意得：BP=AM=t，AP=6$\sqrt{3}$-t，
在Rt△MQP中，MQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，∠MQP=30°，
∴PQ=$\frac{MQ}{cos30°}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}t}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$t，
∴6$\sqrt{3}$-t=$\frac{2}{3}$t，
解得：t=$\frac{18\sqrt{3}}{5}$s，
綜上，存在這樣的時間t，使得△APQ為等腰三角形，t的值為2$\sqrt{3}$s；（36-18$\sqrt{3}$）s；$\frac{18\sqrt{3}}{5}$s．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：等腰三角形的性質，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及三角函數(shù)性質，利用了分類討論的思想，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．