Question

3．在正六邊形ABCDEF中，N、M為邊上的點(diǎn)，BM、AN相交于點(diǎn)P
（1）如圖1，若點(diǎn)N在邊BC上，點(diǎn)M在邊DC上，BN=CM，求證：BP•BM=BN•BC；
（2）如圖2，若N為邊DC的中點(diǎn)，M在邊ED上，AM∥BN，求$\frac{ME}{DE}$的值；
（3）如圖3，若N、M分別為邊BC、EF的中點(diǎn)，正六邊形ABCDEF的邊長為2，請直接寫出AP的長．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABN≌△BCM，得∠ANB=∠BMC，再證明△BPN∽△BCM，列比例式可得結(jié)論；
（2）作輔助線，構(gòu)建等邊三角形的三角形的中位線CK，先證明△CDH是等邊三角形得：∠HCD=∠CDH=∠H=60°，DC=DH=CH，由△DNG≌△CNK，得KC=DG，DG=$\frac{1}{3}$DH=$\frac{1}{3}$DE，利用四邊形MABG是平行四邊形，
得MG=AB=ED，所以ME=DG=$\frac{1}{3}$DE，即$\frac{ME}{DE}$=$\frac{1}{3}$；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角三角形和全等三角形，根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)得：BH=$\frac{1}{2}$，NH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用勾股定理求AN=$\sqrt{7}$，證明△ANB≌△GNC，利用EF∥BC和KG∥AB，列比例式可得：$\frac{PG}{AP}=\frac{\frac{14}{3}}{2}$=$\frac{7}{3}$，設(shè)PG=7x，AP=3x，根據(jù)PG+AP=AG=2$\sqrt{7}$得：7x+3x=2$\sqrt{7}$，可得結(jié)論．

解答 （1）證明：在正六邊形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=120°，
∵BN=CM，
∴△ABN≌△BCM，
∴∠ANB=∠BMC，
∵∠PBN=∠CBM，
∴△BPN∽△BCM，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BN}{BM}$，
∴BP•BM=BN•BC；
（2）延長BC，ED交于點(diǎn)H，延長BN交DH于點(diǎn)G，取BG的中點(diǎn)K，連接KC，
在正六邊形ABCDEF中，∠BCD=∠CDE=120°，
∴∠HCD=∠CDH=60°，
∴∠H=60°，
∴DC=DH=CH，
∵DC=BC，
∴CH=BC，
∵BK=GK，
∴2KC=GH，KC∥DH，
∴∠GDN=∠KCN，
∵CN=DN，∠DNG=∠CNK，
∴△DNG≌△CNK，
∴KC=DG，
∴DG=$\frac{1}{3}$DH=$\frac{1}{3}$DE，
∵M(jìn)G∥AB，AM∥BG，
∴四邊形MABG是平行四邊形，
∴MG=AB=ED，
∴ME=DG=$\frac{1}{3}$DE，即$\frac{ME}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
（3）如圖3，過N作NH⊥AB，交AB的延長線于H，
∵∠ABC=120°，
∴∠NBH=60°，
Rt△NBH中，∠BNH=30°，BN=1，
∴BH=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$，
∴NH=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
Rt△ANH中，AN=$\sqrt{A{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{（2+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
連接FC，延長FC與AN交于G，設(shè)FC與BM交于K，
易證△ANB≌△GNC，
∴CG=AB=2，AN=NG=$\sqrt{7}$，F(xiàn)C=2AB=4，
∴FG=FC+CG=6，
∵EF∥BC，
∴$\frac{FM}{BC}=\frac{FK}{KC}$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{FK}{KC}$，
∵FK+KC=4，
∴FK=$\frac{4}{3}$，KC=$\frac{8}{3}$，KG=$\frac{8}{3}$+2=$\frac{14}{3}$，
∵KG∥AB，
∴$\frac{PG}{AP}=\frac{KG}{AB}$，
∴$\frac{PG}{AP}=\frac{\frac{14}{3}}{2}$=$\frac{7}{3}$，
設(shè)PG=7x，AP=3x，
由PG+AP=AG=2$\sqrt{7}$得：7x+3x=2$\sqrt{7}$，
x=$\frac{\sqrt{7}}{5}$，
∴AP=3x=$\frac{3\sqrt{7}}{5}$．

點(diǎn)評 本題是相似三角形的綜合題，考查了正六邊形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定、平行線分線段成比例定理等知識，一般情況下，正多邊形的題解答都比較麻煩，熟練掌握正多邊形的定義及性質(zhì)是關(guān)鍵，第三問比較復(fù)雜，輔助線的作法是關(guān)鍵．