Question

4．已知點(diǎn)P坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)Q坐標(biāo)是（6，2），在直線y=x上找一點(diǎn)M，使得△QMP的周長最小．則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，3）．

Answer 1

分析 作點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于y=x對(duì)稱，連接P′Q，求得直線P′Q與y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：作點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

∵點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x對(duì)稱
∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（0，4）．
連接P′Q交直線y=x與點(diǎn)M，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：P′M=PM，
∴△MPQ的周長=PQ+QM+PM=PQ+P′Q．
當(dāng)點(diǎn)P′、M、Q在一條直線上時(shí)，三角形的周長有最小值．
設(shè)直線P′Q的解析式為y=kx+b，將P′、Q的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直線P′Q的解析式為y=-$\frac{1}{3}x+4$．
將y=-$\frac{1}{3}x+4$與y=x聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+4}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，3）．
故答案為：（3，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是軸對(duì)稱-路徑最短、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、解二元一次方程組，明確當(dāng)點(diǎn)P′、M、Q在一條直線上時(shí)，三角形的周長有最小值是解題的關(guān)鍵．