Question

10．如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以lcm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合．在移動過程中，邊 AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為lcm，矩形EFGH的邊FG、GH的長分別為4cm、3cm．設(shè)正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y （cm），其中0≤x≤2.5．
（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)y=3時相應(yīng)x的值；
（2）記△DGP的面積為S₁，ACDG的面積為S₂，試說明S₁-S₂是常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應(yīng)邊成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S₁、S₂，然后作差即可．

解答 解：（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴$\frac{CD}{GD}$=$\frac{PG}{AG}$，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3-x，AG=4-x，
∴$\frac{1}{3-x}$=$\frac{y}{4-x}$，即y=$\frac{4-x}{3-x}$，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{4-x}{3-x}$，
當(dāng)y=3時，$\frac{4-x}{3-x}$=3，解得x=2.5，
經(jīng)檢驗的x=2.5是分式方程的根．
故x的值為2.5；

（2）∵S₁=$\frac{1}{2}$GP•GD=$\frac{1}{2}$•$\frac{4-x}{3-x}$•（3-x）=$\frac{4-x}{2}$（cm²），
S₂=$\frac{1}{2}$GD•CD=$\frac{1}{2}$（3-x）×1=$\frac{3-x}{2}$（cm²），
∴S₁-S₂=$\frac{4-x}{2}$-$\frac{3-x}{2}$=$\frac{1}{2}$（cm²），即為常數(shù)．

點評 此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是用移動的時間表示出有關(guān)線段的長度，然后運用所學(xué)知識進行求解．