Question

6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，?ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{3}$），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線l與x軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G．
（1）求∠DCB的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-4，0）時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）連接OE，以O(shè)E所在直線為對(duì)稱軸，△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF'，記直線EF'與射線DC的交點(diǎn)為H．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求證：△DEG∽△DHE．

Answer 1

分析 （1）由于平行四邊形的對(duì)角相等，只需求得∠DAO的度數(shù)即可，在Rt△OAD中，根據(jù)A、D的坐標(biāo)，可得到OA、OD的長(zhǎng)，那么∠DAO的度數(shù)就不難求了．
（2）根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)求得直線EF的方程，然后將點(diǎn)G的縱坐標(biāo)代入該直線方程即可求得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)．
（3）根據(jù)A、D的坐標(biāo)，易求得E點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到AE、OE的長(zhǎng)，由此可判定△AOE是等邊三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知∠OF′E=∠EFA，通過等量代換可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可證得所求的三角形相似．

解答 解：（1）在Rt△AOD中，
∵tan∠DAO=$\frac{DO}{AO}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DAB=60°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DCB=∠DAB=60°．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠DGE=∠AFE，
又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE，
∴△DEG≌△AEF，
∴DG=AF
∵AF=OF-OA=4-2=2，
∴DG=2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$），

（3）∵CD∥AB，
∴∠DGE=∠OFE，
∵△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF′，
∴∠OFE=∠OF′E，
∴∠DGE=∠OF′E，
在Rt△AOD中，∵E是AD的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD=AE
又∵∠EAO=60°
∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，
又∵∠EOF'=∠EOA=60°，
∴∠EOF′=∠OEA，
∴AD∥OF′，
∴∠OF′E=∠DEH，
∴∠DEH=∠DGE，
又∵∠HDE=∠EDG，
∴△DHE∽△DEG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．