Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，點D是AB邊上的點，$\frac{AD}{DB}$=$\frac{1}{2}$，點P為底邊BC上的一動點，則△PDA周長的最小值為2$\sqrt{7}$+2．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到AD=2，BD=4，作A關于BC的對稱點A′，連接DA′交BC于P，則DA′=PD+PA的最小值，過A′作A′H⊥AB于H，解直角三角形即可得到結論．

解答 解：∵AB=AC=6，$\frac{AD}{DB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2，BD=4，
作A關于BC的對稱點A′，連接DA′交BC于P，
則DA′=PD+PA的最小值，
過A′作A′H⊥AB于H，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAA′=60°，∠B=∠C=30°，
∴AA′=6，A′H=3$\sqrt{3}$，
∴DH=3-2=1，
∴A′D=$\sqrt{D{H}^{2}+A′{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴△PDA周長的最小值=2$\sqrt{7}$+2，
故答案為：2$\sqrt{7}$+2．

點評 本題考查了軸對稱-最小距離問題，等腰三角形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．