Question

15．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c與一次函數(shù)y=kx+2的圖象恰好交于坐標(biāo)軸上A，B兩點(diǎn)，且OB=2OA，在第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)D，過D點(diǎn)作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線AB與點(diǎn)F．

（1）請直接寫出此二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，四邊形AOBD的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）在直線DE上取一點(diǎn)G，使得FG=DF，若以G為圓心、CD為半徑畫圓，當(dāng)⊙G與y軸相切時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
（3）根據(jù)平行于y軸上的直線上兩點(diǎn)之間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得DF的長，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得DG的長根據(jù)圓與y軸相切，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得x，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；

解答 解：（1）在y=kx+2中，當(dāng)x=0時，y=2；
∴OA=2，
∵OB=2OA，
∴OB=4，
∴A（0，2），B（4，0）．
把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=kx+2得：4k+2=0，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2；
把A（0，2），B（4，0）代入y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c中，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a+2+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；

（2）如圖，

連接AB，DO，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2）
∴S_△ABD=S_△AOD+S_△DOB-S_AOB
=$\frac{1}{2}$×2m+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2）-$\frac{1}{2}$×2×4
=-$\frac{1}{2}$m²+2m
=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2
當(dāng)m=2時，S有最大值2．

（3）設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2），
∴DF=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{4}$x²+x
∵G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對稱，
∴GD=2FD=2（-$\frac{1}{4}$x²+x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x．
若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得⊙G與y軸相切，即
-$\frac{1}{2}$x²+2x=x，
解得：x=2，x=0（舍去）．
綜上所述：D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用圓與y軸相切得出關(guān)于x的方程是解題關(guān)鍵；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)．