Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交斜邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，BE=DE，連接OB交DE于點(diǎn)F．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若⊙O半徑為3，BC=8，求$\frac{DF}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD、CD，根據(jù)圓周角定理求出∠CDA=∠BDC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠ECD=∠EDC，∠OCD=∠ODC即可；
（2）根據(jù)勾股定理得到AB=10，根據(jù)射影定理得到BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{32}{5}$，根據(jù)三角形的中位線得到OE∥AB，OE=$\frac{1}{2}$AB=5，推出△OEF∽△BDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：連接OD、CD，
∵AC為圓O的直徑，
∴∠CDA=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°，
∵BE=DE，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ECD+∠DCO=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是圓0的切線；

（2）∵⊙O半徑為3，BC=8，
∴AC=6，AB=10，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{32}{5}$，
∵AO=CO，CE=BE，
∴OE∥AB，OE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴△OEF∽△BDF，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{BD}{OE}$=$\frac{\frac{32}{5}}{5}$=$\frac{32}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，射影定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．