Question

10．兩個反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$和y=$\frac{1}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點B．當(dāng)點P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上運動時，以下結(jié)論：
①S_△ODB=S_△OCA
②S_{四邊形PAOB}的值不會發(fā)生變化
③PA與PB始終相等
④當(dāng)點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點．
其中一定不正確的是（　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 ①由點A、B均在反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出S_△ODB=S_△OCA，結(jié)論①正確；②利用分割圖形求面積法即可得出S_{四邊形PAOB}=k-1，結(jié)論②正確；③設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），則點B的坐標(biāo)（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），點A（m，$\frac{1}{m}$），求出PA、PB的長度，由此可得出PA與PB的關(guān)系無法確定，結(jié)論③錯誤；④設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），則點B的坐標(biāo)（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），點A（m，$\frac{1}{m}$），由點A是PC的中點可得出k=2，將其帶入點P、B的坐標(biāo)即可得出點B是PD的中點，結(jié)論④正確．此題得解．

解答 解：①∵點A、B均在反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上，且BD⊥y軸，AC⊥x軸，
∴S_△ODB=$\frac{1}{2}$，S_△OCA=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ODB=S_△OCA，結(jié)論①正確；
②∵點P在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，且PC⊥x軸，PD⊥y軸，
∴S_矩形OCPD=k，
∴S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA=k-1，結(jié)論②正確；
③設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），則點B的坐標(biāo)（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），點A（m，$\frac{1}{m}$），
∴PA=$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{k-1}{m}$，PB=m-$\frac{m}{k}$=$\frac{mk-m}{k}$，
∴PA與PB的關(guān)系無法確定，結(jié)論③錯誤；
④設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），則點B的坐標(biāo)（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），點A（m，$\frac{1}{m}$），
∵點A是PC的中點，
∴k=2，
∴P（m，$\frac{2}{m}$），B（$\frac{m}{2}$，$\frac{2}{m}$），
∴點B是PD的中點，結(jié)論④正確．
故選C．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)的圖象以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，逐一分析說四條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．