Question

16．如圖，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，直角∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正確結(jié)論是（　　）

• A． ①②④
• B． ②③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAD=∠B=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角邊角”證明△BDE和△ADF全等，判斷出③正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF、BE=AF，從而得到△DEF是等腰直角三角形，判斷出①正確；再求出AE=CF，判斷出②正確；根據(jù)BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF＞EF，判斷出④錯誤．

解答 解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠B}&{\;}\\{AD=BD}&{\;}\\{∠ADF=∠BDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
故③正確；
∴DE=DF、BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正確；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，
故②正確；
∵BE+CF=AF+AE
∴BE+CF＞EF，
故④錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③；
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等的性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．