Question

4．如圖，D是∠MAN內(nèi)部一點，點B是射線AM上一點，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE=DF，在射線AN上取一點C，使得DC=DB，問∠ABD與∠ACD有什么數(shù)量關系？請說明理由．

Answer 1

分析 分兩種情況：當點C在線段AF上，Rt△DEB≌Rt△DFC，可證得∠ABD=∠ACD；當點C在線段AF的延長線上時，Rt△DEB≌Rt△DFC，可證得∠ABD+∠ACD=180°．

解答 解：∠ABD=∠ACD或∠ABD+∠ACD=180°；
分兩種情況：
①如圖1，當點C在線段AF上時，
∵DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴∠DBE=∠DCF，
∴∠ABD=∠ACD；
②如圖2，當點C在線段AF的延長線上時，
同理可證Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴∠DBE=∠DCF，
∵∠DBE+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質，全面思考問題，意識到有兩種情形是正確解答的關鍵．