Question

5．如圖，正比例函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線AM，垂足為M，已知△OAM的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上確定一點(diǎn)P，使PA+PB最�。�求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出$\frac{1}{2}$|k|=1，結(jié)合第一象限內(nèi)含有函數(shù)的圖象，即可求出k的值，從而問題得解；
（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于點(diǎn)P，連接AP，根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再根據(jù)A′、A關(guān)于x軸對稱找出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A′、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，令y=0求出x值即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵△OAM的面積為1，
∴$\frac{1}{2}$|k|=1，解得：k=±2，
∵第一象限內(nèi)有反比例函數(shù)圖象，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$．
（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式：
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍去）．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）．
（3）令反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$中x=1，則y=$\frac{2}{1}$=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．
作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于點(diǎn)P，連接AP，如圖所示．

則點(diǎn)P即是所要找的使PA+PB最小得點(diǎn)，
∵點(diǎn)A、A′關(guān)于x軸對稱，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，-1）．
設(shè)直線A′B的解析式為y=ax+b，
將點(diǎn)A′（2，-1）、B（1，2）代入到y(tǒng)=ax+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1=2a+b}\\{2=a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線A′B的解析式為y=-3x+5，
令y=-3x+5中y=0，則0=-3x+5，
解得：x=$\frac{5}{3}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$，0）．
故在x軸上確定一點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$，0），此時(shí)PA+PB最�。�

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及軸對稱中得最短路線問題，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的結(jié)合意義求出k的值；（2）解方程組；（3）找出點(diǎn)P的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．