Question

4．如圖，將拋物線y=-x²+1平移，平移后的拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），并與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求平移后的拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線在第一象限上的一動點(diǎn)，當(dāng)∠ACB=∠ABP時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）問的條件下，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)M是直線PF上的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)P不重合，當(dāng)∠PME=$\frac{1}{3}$∠MEB是，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩根式以及拋物線平移a相同即可解決問題．
（2）求出頂點(diǎn)D坐標(biāo)，只要證明∠ABD=∠ACB即可解決問題．
（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M在PA延長線時，作直線CE與PA交于點(diǎn)H，在PA取一點(diǎn)Q，使得EQ=EP，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)FQ=AM，利用平移規(guī)律解決點(diǎn)M坐標(biāo)．另外當(dāng)點(diǎn)M在AP的延長線時，滿足條件的點(diǎn)M不存在，

解答 解：（1）∵將拋物線y=-x²平移，平移后的拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），
∴平移后的拋物線的表達(dá)式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
即y=-x²+2x+3．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．
∵y=-x²+2x+3，
∴當(dāng)x=0時，y=3，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
又∵B（3，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．
在△BCD中，∵BC²=3²+3²=18，CD²=1²+1²=2，BD²=2²+4²=20，
∴BC²+CD²=BD²．∴∠BCD=90°．
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$=$\frac{1}{3}$
∵在△AOC中，∠AOC=90°，
∴tan∠ACO=$\frac{1}{3}$．
∴tan∠ACO=tan∠CBD．
∴∠ACO=∠CBD．
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD．
∵點(diǎn)P是拋物線在第一象限上的一動點(diǎn)，∠ACB=∠ABP，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，
∴所求點(diǎn)P坐標(biāo)（（1，4）．

（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M在PA延長線時，作直線CE與PA交于點(diǎn)H，在PA取一點(diǎn)Q，使得EQ=EP，

∵A（-1，0），P（1，4），
∴直線AP解析式為y=2x+2，
∵C（0，3），E（2，2），
∴直線CE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∵2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∴PA⊥EC，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
∴HP=HQ，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（-$\frac{1}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∵∠MEB=3∠MPE=∠MPE+∠PME，
∴∠MPE=2∠PME，
∵∠MPE=∠EQP=∠PME+∠QEM，
∴∠QEM=∠QME，
∴QM=QE，
∵PE=QE=AF=QM=$\sqrt{5}$，
∴FQ=AM，
∵點(diǎn)F向下平移$\frac{1}{5}$單位，向左平移$\frac{2}{5}$單位得到點(diǎn)Q，
∴點(diǎn)A向下平移$\frac{1}{5}$單位，向左平移$\frac{2}{5}$單位得到點(diǎn)M，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{2}{5}$）．
當(dāng)點(diǎn)M在AP的延長線時，滿足條件的點(diǎn)M不存在，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{2}{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、二次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、勾股定理、平移的鞥知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會利用特殊點(diǎn)解決問題，學(xué)會3倍角的轉(zhuǎn)化，屬于中考壓軸題．