Question

18．如圖，直線y=k₁x（x≥0）與雙曲線y=$\frac{k_2}{x}$（x＞0）相交于點(diǎn)P（2，4）．已知點(diǎn)A（4，0），B（0，3），連接AB，將Rt△AOB沿OP方向平移，使點(diǎn)O移動到點(diǎn)P，得到△A'PB'．過點(diǎn)A'作A'C∥y軸交雙曲線于點(diǎn)C．
（1）求k₁與k₂的值；
（2）求直線PC的表達(dá)式；
（3）直接寫出線段AB掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)P（2，4）代入直線y=k₁x，把點(diǎn)P（2，4）代入雙曲線y=$\frac{k_2}{x}$，可得k₁與k₂的值；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，求得C（6，$\frac{4}{3}$），再運(yùn)用待定系數(shù)法，即可得到直線PC的表達(dá)式；
（3）延長A'C交x軸于D，過B'作B'E⊥y軸于E，根據(jù)△AOB≌△A'PB'，可得線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積，據(jù)此可得線段AB掃過的面積．

解答 解：（1）把點(diǎn)P（2，4）代入直線y=k₁x，可得4=2k₁，
∴k₁=2，
把點(diǎn)P（2，4）代入雙曲線y=$\frac{k_2}{x}$，可得k₂=2×4=8；

（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
如圖，延長A'C交x軸于D，
由平移可得，A'P=AO=4，
又∵A'C∥y軸，P（2，4），
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2+4=6，
當(dāng)x=6時，y=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，即C（6，$\frac{4}{3}$），
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，
把P（2，4），C（6，$\frac{4}{3}$）代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{\frac{4}{3}=6k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線PC的表達(dá)式為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{16}{3}$；

（3）如圖，延長A'C交x軸于D，
由平移可得，A'P∥AO，
又∵A'C∥y軸，P（2，4），
∴點(diǎn)A'的縱坐標(biāo)為4，即A'D=4，
如圖，過B'作B'E⊥y軸于E，
∵PB'∥y軸，P（2，4），
∴點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)為2，即B'E=2，
又∵△AOB≌△A'PB'，
∴線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．

點(diǎn)評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法的運(yùn)用以及平移的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是將線段AB掃過的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積．