Question

10．已知Rt△ABC（∠C=90°）是一塊形狀與大小均會(huì)發(fā)生變化的三角形紙板，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC按如圖放置，AC∥x軸，點(diǎn)B在x軸上，反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與線段BC相交于點(diǎn)P，且A，P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，2a+2．
（1）若△ABC的面積為6，求a的值；
（2）隨著a取值的不同，A，P兩點(diǎn)的位置也不斷變動(dòng)，是否存在點(diǎn)P為BC中點(diǎn)的情況？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由反比例函數(shù)的解析式得出點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，求出BC、AC，由△ABC的面積得出方程，解方程即可求出a的值；
（2）若點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A、P的坐標(biāo)得出方程，方程無解，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AC∥x軸，∠C=90°，
∴∠OBC=90°，
∵反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與線段BC相交于點(diǎn)P，且A，P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，2a+2．
∴點(diǎn)A（a，$\frac{4}{a}$），P（2a+2，$\frac{2}{a+1}$），
∴BC=$\frac{4}{a}$，AC=2a+2-a=a+2，
∵△ABC的面積為6，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{a}$×（a+2）=6，
解得：a=1；
（2）不存在；理由如下：
∵A（a，$\frac{4}{a}$），P（2a+2，$\frac{2}{a+1}$），
若點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，則$\frac{4}{a}$=2×$\frac{2}{a+1}$，此方程無解，
∴不存在點(diǎn)P為BC中點(diǎn)的情況．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了坐標(biāo)與圖形特征、直角三角形面積的計(jì)算、反比例函數(shù)解析式的運(yùn)用以及解方程等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解決問題的關(guān)鍵．