Question

15．如圖1，已知B點(diǎn)坐標(biāo)是（6$\sqrt{3}$，6），BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，D在線段OA上，E在y軸的正半軸上，DE⊥BD，M是DE中點(diǎn)，且M在OB上．
（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$，2），DE=8；
（2）小明在研究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果有兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線上做勻速運(yùn)動(dòng)，連接這兩點(diǎn)所得線段的中點(diǎn)將在同一條直線上運(yùn)動(dòng)，利用這一事實(shí)解答下列問(wèn)題，如圖2，如果一動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)有一點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā)以每秒$\sqrt{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H從點(diǎn)E開始沿y軸正方向自由滑動(dòng)，并始終保持GH=DE，P為FG的中點(diǎn)，Q為GH的中點(diǎn)，F(xiàn)與G兩個(gè)點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)到各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，分別求出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．
（3）連接PQ，求當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，PQ最小，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6$\sqrt{3}$，6），可求得∠BOA=30°，在在Rt△EOD中，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可知：OM=$\frac{1}{2}ED=MD$，從而可求得：∠MDO=∠BOA=30°，然后可證明∠EDO=∠DBA=30°，根據(jù)特殊銳角三角形函數(shù)值可求得AD=2$\sqrt{3}$，則OD=$\sqrt{3}$，OE=4，因?yàn)镸是DE的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，2），從而可求得DE=8；
（2）根據(jù)題意畫出點(diǎn)P、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5$\sqrt{3}$，3），當(dāng)t=4時(shí)，P₁的坐標(biāo)為（3$\sqrt{3}$，1），然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得PP₁=4，當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P位于P₂處，P₁P₂=$\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×2=1$，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)PP₁+P₁P₂=5；因?yàn)镸是DE的中點(diǎn)，∠EOD=90°，所以O(shè)M=$\frac{1}{2}DE$=4．故此點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線為弧ME，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求得點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)；
（3）由三角形中位線的性質(zhì)可知：PQ=$\frac{1}{2}$FH，所以當(dāng)FH⊥y軸時(shí)，F(xiàn)H最小值=6$\sqrt{3}$，連接FH，設(shè)此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AF=6-t，DG=$\sqrt{3}t$，故此OG=（4-t）$\sqrt{3}$，在Rt△HOG中，由勾股定理得：OH²=8²-3（4-t）²，因?yàn)椤逴H=AF，可知：（6-t）²=64-3（4-t）²，然后即可解得時(shí)間t的值．

解答 解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6$\sqrt{3}$，6），
∴tan∠BOA=$\frac{AB}{OA}=\frac{6}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BOA=30°．
∵在Rt△EOD中，點(diǎn)M是ED的中點(diǎn)，
∴OM=$\frac{1}{2}ED=MD$．
∴∠MDO=∠BOA=30°，
∵BD⊥ED，
∴∠EDB=90°．
∴∠EDO+∠BDA=90°．
∵∠BDA+∠DBA=90°，
∴∠EDO=∠DBA=30°
∴AD=AB•tan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$．
∴OD=6$\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$．
∴OE=ODtan30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4．
∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，2）．
∵$\frac{OD}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=8．
（2）根據(jù)題意畫出點(diǎn)P、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡．

OD=4$\sqrt{3}$，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4秒；
點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=6÷1=6秒；
∵點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{2}$，$\frac{0+6}{3}$）即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5$\sqrt{3}$，3），P₁的坐標(biāo)為（3$\sqrt{3}$，1）
∴PP₁=$\sqrt{（3-1）^{2}+（5\sqrt{3}-3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{16}=4$，
P₁P₂=$\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×2=1$
P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)PP₁+P₁P₂=5；
∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∠EOD=90°
∴OM=$\frac{1}{2}DE$=$\frac{1}{2}×8=4$．
∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線為弧ME．
∵∠BOA=30°，
∴∠EOM=60°．
∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)=$\frac{60}{360}×2×π×4$=$\frac{4}{3}π$．
∵GH=DE，
∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：$\frac{4}{3}π$．
（3）∵點(diǎn)P、Q分別為FG和GH的中點(diǎn)，
∴PQ=$\frac{1}{2}$FH．
∴當(dāng)FH最小時(shí)，PQ最小，
當(dāng)FH⊥y軸時(shí)，F(xiàn)H最小值=6$\sqrt{3}$，
如圖2，連接FH．

設(shè)此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AF=6-t，DG=$\sqrt{3}t$
∴OG=（4-t）$\sqrt{3}$，
在Rt△HOG中，由勾股定理得：OH²=GH²-OG²
∴OH²=8²-3（4-t）²．
∵OH=AF，
∴（6-t）²=64-3（4-t）²．
解得：${t}_{1}=\frac{9-\sqrt{61}}{2}$，${t}_{2}=\frac{9+\sqrt{61}}{2}$（舍去）
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{9-\sqrt{61}}{2}$秒時(shí)，PQ最小值=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形、三角形、銳角三角函數(shù)、一元二次方程的綜合應(yīng)用，作出點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡是解題的關(guān)鍵．