Question

20．如圖，平面直角坐標系中，直線y=$\frac{4}{3}$x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．
（1）直接寫出點A，B的坐標，并求直線AB與CD交點E的坐標；
（2）動點P從點C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時，動點N從點A出發(fā)，沿射線AO以每秒2個單位長度的速度運動，當點C到達D點時，兩點同時停止運動．過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接NP．設點P的運動時間為t秒．
①是否存在△NPH的面積為4，如果存在，請說明理由．
②點Q是點B關于點A的對稱點，問BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應的點P的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令x與y等于0，即可求出點A與點B的坐標，由四邊形AOCD為矩形，可知：CD∥x軸，進而可知：D、C、E三點的縱坐標相同，由點C為OB的中點，可求點C的坐標，然后將點C的縱坐標代入直線y=$\frac{4}{3}$x+8即可求直線AB與CD交點E的坐標；
（2）①分兩種情況討論，第一種情況：當0＜t＜2時；第二種情況：當2＜t≤6時；
②由點Q是點B關于點A的對稱點，先求出點Q的坐標，然后連接PB，CH，可得四邊形PHCB是平行四邊形，進而可得：PB=CH，進而可將BP+PH+HQ轉(zhuǎn)化為CH+HQ+2，然后根據(jù)兩點之間線段最短可知：當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，然后求出直線CQ的關系式，進而可求出直線CQ與x軸的交點H的坐標，從而即可求出點P的坐標．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{4}{3}$x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，
∴令x=0得：y=8，
令y=0得：x=-6，
∴A（-6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∵點C為OB的中點，
∴OC=4，
∴C（0，4），
∵四邊形AOCD為矩形，
∴OA=CD=6，OC=AD=4，CD∥OA（x軸），
∴D、C、E三點的縱坐標相同，
∴點E的縱坐標為4，將y=4代入直線y=$\frac{4}{3}$x+8得：x=-3，
∴E（-3，4）；
（2）①分兩種情況討論：
第一種情況當0＜t＜2時，如圖1，

根據(jù)題意可知：經(jīng)過t秒，CP=t，AN=2t，HO=CP=t，PH=OC=4，
∴NH=6-3t，
∵S_△NPH=$\frac{1}{2}$PH•NH，且△NPH的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$×4×（6-3t）=4，
解得：t=$\frac{4}{3}$；
第二種情況：當2＜t≤6時，如圖2，

根據(jù)題意可知：經(jīng)過t秒，CP=t，AN=2t，HO=CP=t，PH=OC=4，
∴AH=6-t，
∴HN=AN-AH=3t-6，
∵S_△NPH=$\frac{1}{2}$PH•NH，且△NPH的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$×4×（3t-6）=4，
解得：t=$\frac{8}{3}$；
∴當t=$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$時，存在△NPH的面積為4；
②BP+PH+HQ有最小值，
連接PB，CH，HQ，則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖3，

∵四邊形PHCB是平行四邊形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵兩點之間線段最短，
∴當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，
過點Q作QM⊥y軸，垂足為M，
∵點Q是點B關于點A的對稱點，
∴OA是△BQM的中位線，
∴QM=2OA=12，OM=OB=8，
∴Q（-12，-8），
設直線CQ的關系式為：y=kx+b，
將C（0，4）和Q（-12，-8）分別代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-12k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴直線CQ的關系式為：y=x+4，
令y=0得：x=-4，
∴H（-4，0），
∵PH∥y軸，
∴P（-4，4）．

點評 此題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)關系式，一次函數(shù)與x軸、y軸交點的求法，及利用線段公理求最值問題等，解（2）中①題的關鍵是：分兩種情況進行討論，解（2）中②題的關鍵是：利用兩點之間線段最短，解決最值問題．